原文出处：https://blog.csdn.net/tsyccnh/article/details/79163834
交叉熵（cross entropy）是深度学习中常用的一个概念，一般用来求目标与预测值之间的差距。
1.信息量
信息：$i(x)=-log(p(x))$,如果说概率p是对确定性的度量，那么信息就是对不确定性的度量。
独立事件的信息：如果两个事件X和Y独立，即p(XY)=p(X)p(Y)，假定X和Y的信息量分别为i(X)和i(Y)，则二者同时发生的信息量应该为i(X^Y)=i(X)+i(Y)。
假设我们听到两件事情，分别如下：
事件A：巴西对进入了世界杯决赛圈。
事件B：中国对进入了世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。
由于是概率，所以p(x)的取值范围是[0,1],绘制为图形如下：
可见该函数符合我们对信息量的直觉。
2.熵
是对随机变量平均不确定性的度量。1984年，香农Claude E.Shannon引入信息（熵），将其定义为离散随机事件的出现概率。一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一个系统越是混乱，信息熵就越高。所以说，信息熵可以被认为是系统有序化程度的一个度量。不确定性越大，熵值越大；若随机变量退化成定值，熵为0.熵是自信息的期望。
考虑另一个问题，对于某个事件，有n种可能性都有一个概率$p(x_{i})$,这样就可以算出某一种可能性的信息量。举一例子，假设你向你喜欢的人表白，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量：
| 序号 | 事件 | 概率p | 信息量I |
|---|---|---|---|
| A | 对方拒绝了 | 0.7 | -log(p(A))=0.36 |
| B | 对方答应了 | 0.2 | -log(p(B))=1.61 |
| C | 对方没回应 | 0.1 | -log(p(C))=2.30 |
我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：
其中n代表所有的n中可能性，所以上面的问题结果就是：
然而又一类比较特殊的问题，比如抛掷硬币，一般只有两种可能。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：
（注意，这里可不是交叉熵损失函数哦~）
3.互信息
这里暂时不详细说。
4.平均互信息
决策树种的“信息增益”其实就是平均互信息I(X,Y),表示两个事件的信息差。
5.相对熵（KL散度、KL距离）
相对熵又称KL散度（Kullback-Leibier(KL) divergence）如果我们对于同一个随机变量x有两个单独的概率分布P(x)和Q(x)，我们可以使用KL散度来衡量着两个分布的差异。
即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增益。
在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]。直观理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增益”，Q等价于P。
KL散度的计算公式：
n为事件的所有可能性。
$D_{KL}$的值越小，表示q分布和p分布越接近。
6.交叉熵
上面的相对熵公式可以变形得到：
等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：
（可以看出，相对熵是一种原来的熵与变换分布描述之后熵值的差异（信息增益）；而交叉熵直接是用变化分布描述的熵作为差异本身，优化交叉熵，值越小，两个分布之间越接近。）
在机器学习中，我们评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即$D_{KL}(y||\hat{y})$，由于KL散度中的前一部分-H(y)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用交叉熵做loss，评估模型。（也有用KL散度的，在svm，GAN里面都有）